ルギア君の戯言

雑多な記事。

6年11月23日 (木)

みんな「みーっつ! みんな笑顔で明るいあるぱ城!」
ドンちゃん「よーし、今日も仕事始めー!」


……………


キリルン「あ、絵かきしているんでゲソね」
ルギア君「まあ、そういうことになるんかな。」
キリルン「なんか少し教えて欲しいでゲソ。」
ルギア君「じゃあ、ベジェ曲線の性質について。」
キリルン「あまり、数学的なことは嫌いでゲソ。」
ルギア君「まあ、別に数学的なことガリガリやるつもりはない。だって、数学的なことは Wikipedia *1 に十分載っているからな。」
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キリルン「この子は誰でゲソ?」
ルギア君「さあ。適当に描いたら目と口を描きたくなったので描いたらこうなった。」
キリルン「それで、これは何を意味するのでゲソ?」
ルギア君「見てわかるとおりみんなハンドル同士を結ぶ線の交点の近くを通っているだろ?」
キリルン「近く? 確かに近くは通っているでゲソ。」
ルギア君「数学的には通らないからだ。これが書くときに目安になるんだ。」
キリルン「なるほどでゲソ。」
ルギア君「じゃ、交点は通らない理由を説明しよう。」
キリルン「ほう。」
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ルギア君Wikipedia で紹介されている作図法を使うと、真ん中の点は得られるね。」
キリルン「それはわかるでゲソ。」
ルギア君「でもさっき言った方法だと、ハンドルの先端が同じ場所だから求められないね。」
キリルン「極限的にはどうなんでゲソ?」
ルギア君「極限的に? 極限的にはそのハンドルの先端になる。」
キリルン「使えないでゲソね。」
ルギア君「普通に描く分には問題ない。数学的な確証が必要な場合を除いては、だが。」
キリルン「ふーん。」
ルギア君「ちなみに、たいていは近くを通る。ハンドルの先端同士が近いとだんだん外れていく。逆に互いに中点で交わっていればその交点をベジェ曲線は通る。」
キリルン「そうなんでゲソか?」
ルギア君「理由は簡単で、ハンドルのつくる形が平行四辺形だからだ。面倒なんで数学的な証明はしないけど。*2 *3
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ルギア君「では、円を書いてみよう。制御点は 4 つあれば十分。というわけで四分円で考える。円の半径を r、ハンドルの長さを a としよう。この a を求める。」
キリルン「ううむ。」
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ルギア君「オレンジの線の x 方向の長さは?」
キリルン「えーっと、r-a でゲソ。」
ルギア君「じゃあ、オレンジの線の中点の x 座標は?」
キリルン「えーっと、a+\frac{r-a}{2}=\frac{r+a}{2} でゲソ。」
ルギア君「上側のハンドルの中点とオレンジの線の中点を結んだ線の中点の x 座標は?」
キリルン「えーっと、\frac{\frac{r+a}{2}+\frac{a}{2}}{2}=\frac{r+2a}{4} でゲソ。」
ルギア君「じゃあ、y 座標は?」
キリルン「えーっと、\frac{r+\frac{r+a}{2}}{2}=\frac{3r+a}{4} でゲソ。」
ルギア君「じゃあ、その点と、x 座標と y 座標を反転させた点を結んだ線分の中点の x 座標は?」
キリルン\frac{\frac{r+2a}{4}+\frac{3r+a}{4}}{2}=\frac{4r+3a}{8} でゲソ。」
ルギア君「ところで、円の 8 分点の x 座標は?」
キリルン「えーっと、えーっと、わかんないでゲソ。」
ルギア君「その口癖になるならイカ娘ぐらいの頭脳になってもらわなくちゃね。」
キリルン「ヤダでゲソ。」
ルギア君「これは、\frac{r}{\sqrt{2}} だな。」
キリルン「うーむ。」
ルギア君「ということは方程式 \frac{4r+3a}{8}=\frac{r}{\sqrt{2}} を解けばいい。」
キリルン「難しいでゲソ。」
ルギア君「じゃ、a は?」
キリルン「…………a=\frac{4}{3}\left(\sqrt{2}-1\right)r でゲソ。」
ルギア君「もし r=1 なら、 a=
キリルンa は、 a は、……」
ルギア君「無理はしなくていいよ。」
キリルンa\approx0.5529 でゲソ。」

*1:[Wikipedia:ベジェ曲線]

*2:[http://www.ies.co.jp/chugaku/study2/para/para.html:title] 要: Java

*3:補足: たとえ平行四辺形でもハンドルの向きが同じだとこれは成り立たない。